Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
]]
Proporção áurea: a razão entre a+b e a coincide com a razão entre a e b.
A
proporção áurea ou
número de ouro ou
número áureo é uma
constante real algébrica irracional denotada pela letra
grega 
(
phi) e com o valor
arredondado a três casas decimais de 1,618. É um número que há muito tempo é empregado na
arte. Também é chamada de:
razão áurea,
razão de ouro,
divina proporção,
proporção em extrema razão,
divisão de extrema razão.
É frequente a sua utilização em
pinturas renascentistas, como as do mestre
Giotto. Este número está envolvido com a natureza do crescimento.
Phi (não confundir com o número
Pi (
π), quociente da divisão do comprimento de uma circunferência pela medida do seu respectivo diâmetro), como é chamado o número de ouro, pode ser encontrado na proporção em conchas (o
nautilus, por exemplo), seres humanos (o tamanho das
falanges,
ossos dos
dedos, por exemplo), até na relação dos machos e fêmeas de qualquer colméia do mundo, e em inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem do crescimento.
Justamente por estar envolvido no
crescimento, este número se torna tão freqüente. E justamente por haver esta freqüência, o número de ouro ganhou um status de "quase mágico", sendo alvo de pesquisadores, artistas e escritores. Apesar deste
status, o número de ouro é apenas o que é devido aos contextos em que está inserido: está envolvido em crescimentos biológicos, por exemplo. O fato de ser encontrado através de desenvolvimento matemático é que o torna fascinante.
Cálculo do Número
Definição Algébrica
A razão áurea é definida algebricamente como
A
equação da direita mostra que
, o que pode ser substituído na parte esquerda. Temos, assim
Cancelando b em ambos os lados, temos
Multiplicando ambos os lados por
nos dá
Finalmente, arrumando os termos da equação, encontramos
, que é uma
equação quadrática da forma
, em que
.
A única solução positiva desta equação quadrática é fazer o seguinte
, que é o número
.
Seqüência de Fibonacci
Como é um número extraído da seqüência de
Fibonacci, representa diretamente uma constante de crescimento.
O número áureo é aproximado pela divisão do enésimo termo da
Série de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,... onde cada número da série é a soma dos dois números imediatamente anteriores na própria série) pelo termo anterior. Essa divisão converge para o número áureo conforme tomamos n cada vez maior. Podemos ver um exemplo dessa convergência a seguir:
Na qual a série de Fibonacci está escrita até seu sétimo termo [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13].
Série de Frações
O número áureo também pode ser encontrado através de frações sucessivas. Normalmente representadas com [a,b,c,d,e], que resulta em
A aproximação do número áureo vem com a quantidade de números 1 em uma representação de Série de Frações. O valor varia em torno do número áureo, sendo maior ou menor alternadamente, mas sempre se aproximando deste.
![[1,1] = 1 + frac{1}{1} = 1 + 1 = 2.](http://upload.wikimedia.org/math/e/1/6/e160294133af26660a216e8f74de8e94.png)
![[1,1,1] = 1 + frac{1}{ 1 + frac{1}{1} } = 1 + frac{1}{2} = frac{3}{2} = 1,5.](http://upload.wikimedia.org/math/6/2/6/62698160ea073ac52ede3440f6822a3c.png)
![[1,1,1,1] = 1 + frac{1}{ 1 + frac{1}{ 1 + frac{1}{1} }} = 1 + frac{1}{frac{3}{2}} = 1 + frac{2}{3} = frac{5}{3} = 1,666.](http://upload.wikimedia.org/math/3/d/4/3d4de033a6d6224d85615e230e45d078.png)
![[1,1,1,1,1] = 1 + frac{1}{ 1 + frac{1}{ 1 + frac{1}{1 + frac{1}{1} } } } = 1 + frac{1}{frac{5}{3}} = 1 + frac{3}{5} = frac{8}{5} = 1,6.](http://upload.wikimedia.org/math/0/8/8/0884c6bfe1c6f0ab3bb2d7dcae2673b9.png)
Série de Raízes
Origem do nome
Phi, tem este nome em homenagem ao arquiteto grego
Phidias, construtor do
Parthenon e que utilizou o número de ouro em muitas de suas obras
Proporção Áurea na Natureza
Por que esse número é tão apreciado por artistas, arquitetos, projetistas e músicos? Porque a proporção áurea, como o nome sugere, está presente na natureza, no corpo humano e no universo.
Este número, assim como outros, por exemplo o
Pi, estão presentes no mundo por uma razão
matemática existente na natureza.
Essa seqüência aparece na natureza, no DNA, no comportamento da refração da luz, dos átomos, nas vibrações sonoras, no crescimento das plantas, nas espirais das galáxias, dos marfins de elefantes, nas ondas no oceano, furacões, etc.
Figuras Geométricas
Um decágono regular, inscrito numa circunferência, tem os lados em relação dourada com o raio da circunferência.
O
pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um
pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea.
Um
pentagrama regular é obtido traçando-se as diagonais de um
pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, também está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea. A razão entre as medidas das áreas dos dois pentágonos é igual a quarta potência da razão áurea.
Chamando os vértices de um pentagrama de A, B, C, D e E, o triângulo isósceles formado por A, C e D tem seus lados em relação dourada com a base, e o triângulo isósceles A, B e C tem sua base em relação dourada com os lados.
Quando
Pitágoras descobriu que as proporções no pentagrama eram a proporção áurea, tornou este símbolo estrelado como a representação da
Irmandade Pitagórica. Este era um dos motivos que levava Pitágoras a dizer que "tudo é número", ou seja, que a
natureza segue padrões matemáticos.
Vegetais
- Semente de girassol – A proporção em que aumenta o diâmetro das espirais sementes de um girassol é a razão áurea.
- Folhas das Árvores – A proporção em que se diminuem as folhas de uma arvore à medida que subimos de altura.
Animais
- População de Abelhas – A proporção entre abelhas fêmeas e machos em qualquer colméia.
- Concha do Caramujo Nautilus – A proporção em que cresce o raio do interior da concha desta espécie de caramujo. Este molusco bombeia gás para dentro de sua concha repleta de câmaras pra poder regular a profundidade de sua flutuação.
- Outros – phi estão também nas escamas de peixes, presas de elefantes, crescimento de plantas.
Corpo Humano
Proporções áureas em uma
mão- A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.
- A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça.
- A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax.
- A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo.
- O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.
- A medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta.
- A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até ao chão.
Aplicações
O homem sempre tentou alcançar a perfeição, seja nas pinturas, nos projetos arquitetônicos e até mesmo na
música.
Arte
A proporção áurea foi muito usada na arte, em obras como
O Nascimento de Vênus, quadro de
Botticelli, em que
Afrodite está na proporção áurea. Esta proporção estaria ali aplicada pelo motivo do autor representar a perfeição da beleza. Em O Sacramento da Última Ceia de Salvador Dalí, as dimensões do quadro (aproximadamente 270 cm × 167 cm) estão numa Razão Áurea entre si. Na
história da arte renascentista a perfeição da beleza em quadros foi bastante explorada com base nesta constante. Vários pintores e escultores lançaram mão das possibilidades que a proporção os dava de retratar a realidade com mais perfeição.
A Mona Lisa de Leonardo da Vinci utiliza o número áureo nas relações entre seu tronco e cabeça, e também entre os elementos do rosto.
Literatura
- Na literatura o número de ouro encontra sua aplicação mais notável no poema épico grego Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos último dias da Guerra de Tróia. Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número próximo ao 1,618, o número de ouro.
- Virgílio em sua obra Eneida, construiu a razão áurea com as estrofes maiores e menores.
Retângulo Dourado
Trata-se do retângulo no qual a proporção entre o comprimento e a largura é aproximadamente o número Phi, ou seja, 1,618, que reflete, inclusive, as proporções do
Parténon.
Os
Egípcios fizeram o mesmo com as
pirâmides. Por exemplo, cada bloco da pirâmide era 1,618 vezes maior que o bloco do nível a cima. As câmaras no interior das pirâmides também seguiam essa proporção, de forma que os comprimentos das salas são 1,618 vezes maior que as larguras.
Música
O número de ouro está presente nas famosas sinfonias
Sinfonia nº 5 e a
Sinfonia nº 9 de
Ludwig van Beethoven e em outras diversas obras. Outro fato interessante registrado na Revista Batera, em um artigo sobre o baterista de
jazz Max Roach é que em seus solos curtos aparece tal número, se considerarmos as relações que aparecem entre tempos de bumbo e caixa.
Cinema
Objetos Atuais
Atualmente essa proporção ainda é muito usada. Ao padronizar internacionalmente algumas medidas usadas em nosso dia-a-dia, os projetistas procuraram "respeitar" a proporção divina. A razão entre o comprimento e a largura de um Cartão de Crédito, alguns livros, Jornal, uma foto revelada, entre outros.
Efeitos
Algumas das correntes místicas acreditam que objetos cujas dimensões sejam relacionadas a Phi, harmonizam-se com a
glândula pineal, o que provocaria ou estimularia uma sensação de beleza e harmonia no ser humano.
Ver também
Bibliografia
- COLE, K. C.. O Universo e a Xícara de Chá. São Paulo: Record, 2006. 294p.
- LIVIO, Mario. Razão áurea: a história do phi. São Paulo: Record, 2006. 336p.
Ligações externas
